Para las longitudes de onda grandes con respecto al recinto se producen fenómenos de resonancias por interferencia de la señal con los reflejos.
Este fenómeno es muy difícil para ser analizado en edificaciones de geometría compleja. En el caso de un recinto de dimensiones rectangulares (Fig. V.13) se tiene que la ecuación de onda que define el comportamiento de las ondas sonoras puede expresarse en coordenadas cartesianas como[2]:
(V14)
La solución a la ecuación V.1 podemos separarla en tres factores:
(V15)
Las cuales solo dependen respectivamente solo de x , solo de y, y solo de z. Esto separa la ecuación de onda en tres ecuaciones diferenciales ordinarias. Para las condiciones de borde también se cumple lo anterior, por lo cual:
(V16)
con su condición de borde
(V17)
para x=0 y x=Lx.
Adicionalmente se tiene que cumplir la siguiente relación para las constantes ki:
(V18)
La ecuación V.3 tiene la siguiente solución general:
(V19)
donde se tiene que B1= 0 para cumplir con la ecuación V.4 en x=0 . Mientras que para x=Lx la ecuación V.4 obliga a que se cumpla:
(V20)
por lo cual se tiene que:
(V21)
Con el mismo procedimiento tenemos que:
(V22)
(V23)
donde nx, ny y nz son enteros: 0,1,2,..........
Insertando las ecuaciones V.8, 9 y 10 en la ecuación V.5 tendremos:
(V24)
luego tenemos que la dependencia de la presión sonora respecto a las coordenadas x, y y z es igual a:
(V25)
donde se tiene que los modos de resonancia ocurren para las frecuencias:
(V26)
En la Fig. V.14 se observa la construcción de uno de los modos de resonancia axial
Fig.V.14. Modos normales en un recinto de 5.2x6.4x2.7 metros
Fig. V.14b. Modo de resonancia axial
Para obtener el número de modos de resonancia que ocurren por debajo de una cierta frecuencia se utiliza la siguiente ecuación
(V27)
donde:
N=Número de modos de resonancia.
V=Volumen de la sala.
S=Superficie total de la sala.
L=Suma de las longitudes de las aristas de la sala.
c=Velocidad del sonido.
El número de modos de resonancia para un intervalo de frecuencia viene dado por:
(V28)
Por ejemplo, supongamos que tenemos una sala con las dimensiones 5x8x2.5 metros. La tabla V.1 muestra los modos de resonancia para las frecuencia menores de 100 Hz, mientras que en la Fig. V.9 se observa como se distribuyen los modos.
Es de hacer notar que no existe un único criterio para la relación que deben tener las dimensiones de una sala pero, lo que sí está claro es que, los modos deben distribuirse uniformemente, esto es, no deben permitirse modos de resonancia muy cercanos entre sí. Algunas recomendaciones que se encuentran en la literatura son[3]:
|
ASHRAE: |
1 : 1.17 : 1.47 1 : 1.45 : 2.10 |
|
Bolt: |
1 : 1.28 : 1.54 |
|
IAC: |
1 : 1.25 : 1.60 |
|
Sepmeyer: |
1 : 1.14 : 1.41 |
|
Regla de oro: |
1 : 1.26 : 1.41 |
|
Nx |
Ny |
Nz |
Frecuencia |
|
0 |
0 |
1 |
68 |
|
0 |
1 |
0 |
34 |
|
0 |
1 |
1 |
76.02 |
|
0 |
2 |
0 |
68 |
|
0 |
2 |
1 |
96.16 |
|
1 |
0 |
0 |
21.25 |
|
1 |
0 |
1 |
71.24 |
|
1 |
1 |
0 |
40.09 |
|
1 |
1 |
1 |
78.94 |
|
1 |
2 |
0 |
71.24 |
|
1 |
2 |
1 |
98.48 |
|
2 |
0 |
0 |
42.5 |
|
2 |
0 |
1 |
80.18 |
|
2 |
1 |
0 |
54.42 |
|
2 |
1 |
1 |
87.09 |
|
2 |
2 |
0 |
80.18 |
|
2 |
2 |
1 |
105.13 |
|
3 |
0 |
0 |
63.75 |
|
3 |
0 |
1 |
93.2 |
|
3 |
1 |
0 |
72.25 |
|
3 |
1 |
1 |
99.21 |
|
3 |
2 |
0 |
93.2 |
|
3 |
2 |
1 |
115.37 |
|
4 |
0 |
0 |
85 |
|
4 |
0 |
1 |
108.85 |
|
4 |
1 |
0 |
91.54 |
|
4 |
1 |
1 |
114.03 |
|
4 |
2 |
0 |
108.85 |
|
4 |
2 |
1 |
128.34 |
En la figura V.16 se tiene una región de relaciones aceptable según Bolt, Beranek & Newman.
